Купец 2-й гильдии, почетный гражданин города Рязани. Занимался торговлей и булочным производством. Активно занимался благотворительностью: являясь старостой церкви Николая Чудотворца при пансионе 1-й мужской гимназии (Рязань, ул. Свободы, д. 57), в 1903 г. фактически заново отстроил церковь, потратив на ее ремонт 20 тысяч рублей. Принял участие в проводах квартировавших в городе воинских частей при их отправке на Дальний Восток во время русско-японской войны 1904-1905 гг.: входил в состав оргкомитета, по подписке которого было собрано более 7 тыс. рублей деньгами (сам А.К. Москвин пожертвовал 300 рублей)., а также материалы и продукты. За «столь заботливое отношение к войскам» рязанское купечество было удостоено благодарности императора Николая II. Супруга Алексея Константиновича – Екатерина Петровна, была попечительницей приюта для нищенствующих девочек.
Во время черносотенного погрома в Рязани в октябре 1905 г. Москвин укрыл в одном из своих домов на Почтовой шесть еврейских семей.
Источники: Свод памятников архитектуры и монументального искусства России. Рязанская область. – Москва: Наука, 1998;
Рязанская область: в 4 ч. Ч. 1. - Москва: Индрик, 2012 г. Сс. 486, 487, 491;
Кусова И.Г. Рязанское купечество : очерки истории XVI – начала XX века. – Рязань: Март, 1996. С. 50, 65, 80, 90, 92, 114, 120;